Лучшее казино в мире

Введение в статистику и вероятность

Где-то на этапах предварительной алгебры вы получите короткое, но увлекательное введение встатистику, где вы затронете такие темы, как поиск среднего и медианы чисел, медианы чисел, организация данных (чисел) с различными типами. графиков и выполнения анализа данных. Обычно этот тип математики относится к сферестатистикиили изучения сбора, организации и представления данных.

Вы также можете познакомиться свероятностью, которая является исследованием вероятности того, что события могут произойти или произойти.

Давайте сначала поговорим о некоторых типах измерений, которые вы увидите в статистике.

Среднее, Среднее, Медианное, Режим, Диапазон и Среднее абсолютное отклонение (MAD)

Предположим, вы ходите вокруг и просите своих друзей отслеживать, сколько времени ваши друзья каждую неделю проводят, выполняя домашнее задание. К счастью, в сети у вас много друзей, о которых вы можете довольно легко спросить.20ваших друзей ответят со следующими номерами:

\ (10, 2, 15, 28, 1, 32, 12, 14, 8, 17, 22, 6, 42, 3, 14, 7, 12, 23, 20, 8 \) часов занятий каждую неделю

(Я вижу, что у вас есть довольно прилежные друзья!)

Среднее (Среднее)

Можете ли вы угадать среднее значение, просто взглянув на цифры? Возможно нет. Но получитьсреднее значениелегко : вы просто складываете все числа и делите их на общее количество ответов:

Среднее количество часов в неделю ваших20друзей =

Другое слово для среднего - этосреднее значение.

Теперь давайте сделаем с этими данными еще кое-что интересное. Что, если бы кто-то попросил вас ввести число, которое находится точно в середине данных; другими словами, число, над которым столько же ответов, сколько под ним. Давайте отсортируем данные (расположим по порядку), чтобы получить это число:

Медиана

Чтобы получить среднее число илимедиану, вычеркивайте числа с обоих концов, пока не дойдете до среднего числа или чисел. Поскольку у нас четное число, мы получим две «середины», поэтому для получения медианы нам нужно будет взять среднее или среднее этих чисел:

В итоге получаем два числа:12и14. Если бы у нас было только одно число, это число было бы медианой, но поскольку у нас есть два числа, мы берем среднее значение12и14, то есть \ (\ displaystyle \ frac >= 13 \); медиана -13. Помните, что слово «средний» звучит как слово «средний».

Режимявляется номер или номера , которые возникают чаще; у вас может быть более одного режима. В случае наших данных это режимы8,12и14, каждый из которых встречается в данных дважды. Помните, что слово «режим» звучит как слово «наиболее» (часто).

Диапазон

Диапазон, который представляет собой разницу между наибольшим числом и наименьшим номером, является41(\ (42-1 \)).

Среднее абсолютное отклонение (MAD)

Давайте найдем еще одну статистику, которую может быть полезно узнать.Среднее абсолютное отклонение(MAD) из набора чисел говорит нам в среднем, насколько наши цифры от середины (средней) чисел. Это измеряет изменчивость (разброс) чисел. Среднее абсолютное отклонение также называетсясредним абсолютным отклонением.

В нашей ситуации это может указывать на то, насколько похожи учебные привычки наших друзей; Другими словами, чем выше среднее абсолютное отклонение, тем больше разброс или вариативность учебных привычек студентов. Обратите внимание, что такая статистика, вероятно, наиболее полезна при сравнении различных наборов данных.

Чтобы получить это, мы получаем среднее значение данных (которое у нас уже есть:14,8). Затем мы берем каждое значение и находим расстояние (абсолютное значение разницы) от этого среднего, а затем берем среднее из них. Например, первое значение (из упорядоченных значений) - \ (\ left | \ right | = 13,8 \).

Тогда среднее абсолютное отклонение составляет8,11 часа. Это означает, что среди друзей существует большая вариативность (разброс) времени выполнения домашних заданий каждую неделю.

Позже мы увидим, как использовать аналогичную меру дисперсии,стандартное отклонение(которое сложнее измерить, но чаще используется), а также как получить множество этих измерений в графическом калькуляторе! Их можно найти в разделе «Диаграммы разброса, корреляция и регрессия».

График с коробками и усами

Есть несколько различных способов графического просмотра данных, которым вы научитесь на уроках математики. Во-первых,диаграмма прямоугольников и усовпредставляет собой визуальное изображение данных, которое показывает, где находится середина данных (медиана) и как далеко от середины находятся другие точки.

Чтобы нарисовать то, что мы называем диаграммой ящиков и усов или диаграммой ящиков, нам также нужно получитьнижнийиверхний квартили, которые подобны медианам чисел слева и справа от медианы, включая медианное значение. (В нашем случае мы включаем12,поскольку у нас не было истинного среднего числа или медианы). Чтобы получить нижний квартиль, снова начнем вычеркивать:

Остались7и8в середине, а среднее значение составляет7,5. Таким образом, нижний квартиль равен7,5.

Мы делаем то же самое, чтобы получитьверхний квартиль, но используем числа справа от медианы.

У нас осталось20и22в середине, а среднее значение равно21. Итак, верхний квартиль -21.

Обратите внимание, что слово «квартиль» связано со словом «квартал»; мы разделили данные на четыре квартала.

Затем мы строим график наименьшего числа, нижнего квартиля, медианы, верхнего квартиля и наибольшего числа следующим образом; видите, как выглядит коробка с усами по бокам?

Вы видите, что \ (\ displaystyle \ frac \) из20ваших друзей (5друзей) учатся менее7,5часов в неделю, \ (\ displaystyle \ frac \) (10друзья) менее13часов и \ (\ displaystyle \ frac \) (15друзей) менее21часа в неделю? Вы также можете видеть, что \ (\ displaystyle \ frac \) ваших друзей (10друзей) учатся от7,5часов (нижний квартиль) до21часа (верхний квартиль) в неделю. Вы также можете видеть, что самая высокая точка (42часа) в некоторомродеявляетсявыбросом.; это означает, что эта точка может не соответствовать остальным данным.

(Обратите внимание, что мы могли бы использовать наш графический калькулятор для получения некоторых из этих значений, таких как медиана и квартили. Чтобы узнать, как это сделать, см. «Базовую статистику по данным из калькулятора»в разделе «Диаграммы разброса, корреляция и регрессия»).

Участок стебля и листа

Мы также могли бы нарисовать диаграмму стебля и листа с данными, которые напоминают стебли и листья растений:

Для этого графика вы помещаете первую цифру (десятки) всех чисел в левую часть, а затем помещаете единицы в правой части по порядку. Здесь вы можете увидеть то же самое - поскольку мы знаем (из ранее), что медиана равна7,5, мы можем видеть, что существует большая разница между медианой и наибольшим числом (42), чем между медианой и наименьшим числом (1). .

Мы также можем видеть, как более мелкие данные более сгруппированы; мы увидим это далее в таблицах частот и графиках.

Таблицы и графики частот

Количество часов обучения

Затем мы могли бы построитьгистограммуиз этих данных, как показано ниже.Гистограммы, иличастоты графикпредставляет собой график , показывающий распределение данных - где он лежит.

Эти данныесмещенывправоилиявно искажены(правая частьимеет более длинный «хвост»). Когда данныесмещены влево(илиискажены отрицательно),левая сторонаимеет более длинный «хвост». Когда данные не смещены влево или вправо, мы называем данные «симметричными».

Круговая диаграмма

Еще один тип графика, который интересно рисовать, - это круговой график или круговая диаграмма. Мы могли бы разделить «ведра» из наших данных выше (количество часов, которые наши друзья занимаются в неделю), и вычислить, насколько велики сделать кусочки пирога, используя немного геометрии.

Итак (с помощью нашего удобного транспортира, который мы научились использовать в начальной школе по геометрии и который увидим позже в разделе «Геометрия») - вот наша круговая диаграмма:

Не волнуйтесь, если вы не получите всего этого сейчас! Позже, в более продвинутой алгебре, мы узнаем еще больше способов отображения и интерпретации данных (например, когда мы сравниваем два набора данных), а также о том, как сделать много таких отображений на вашем графическом калькуляторе.

Вероятность

Перед изучением алгебры вы также, возможно, изучали тему под названием «Вероятность», которая связана со статистикой.

По сути, вероятность - это число от0до1,которое говорит нам, насколько вероятно, что что-то может произойти. Вы когда-нибудь слышали выражение «Вероятность прохождения этого курса около0»? Это плохой знак для прохождения этого курса.Обратите внимание, что часто вероятность указывается в процентах (от 0 до 100%), а не в десятичной дроби.

Также важна концепция, согласно которой вероятность того, что что-то произойдет, а этого не произойдет (дополнение), составляет в сумме1. Следовательно, вероятность того, что что-то произойдет, равна (1- вероятность того, что произойдет прямо противоположное).

Вероятность может усложняться на продвинутых курсах (некоторые из них мы обсудим позже), но мы просто поговорим о нескольких методах «подсчета» и о том, как вычислить некоторые основные вероятности.

Вероятность определяется как доля от количества раз, когда что-то происходит, по количеству возможных способов, которыми что-томожетпроизойти (возможные пути называютсярезультатами, набор всех возможных результатов - этопространство выборки, и это обычно находится в знаменателе в вероятность).

Например, вероятность получить голову, если подбросить монету, равна \ (\ displaystyle \ frac \), поскольку происходит только одно (либо голова, либо хвост), но могло произойти 2 вещи. (голова или хвост). Это немного сбивает с толку, но через некоторое время вы это получите. Этоэксперимент, поскольку в нем естьслучай.

Когда событиянезависимы(не связаны), мы можемумножить их,чтобы получить вероятность того, чтообасобытия произойдут! Однако мы должны быть осторожны, поскольку, если события зависят друг от друга (например, повторный выбор без замены), формулы становятся более сложными; вы можете проверитьвероятность на сайтеStatisticsHowTo.com,чтобы узнать больше об этом. Я также обращаюсь к этомуниже.

То, что не имеет шансов произойти, имеет вероятность0(например, вероятность получить7,когда вы бросаете кубик), а то, что всегда будет происходить, имеет вероятность1(например, вероятность получения числа между ними и включая1и6,когда вы бросаете кубик).

Экспериментальные вероятности- это те, которые вы получаете, фактически проводя эксперимент (например, подбрасывая монету выше). Вам придется делать это много-много раз (попробуйте!), Чтобы приблизиться ктеоретической вероятности, которая являетсявероятностью, которую мы получаем с помощью математики.

Пример экспериментальной проверки вероятности -подброситьмонету 40 рази записать, выпадет ли у вас голова или решка. При каждом подбрасывании монеты складывайте количество выпавших на данный момент орлов и делите на количество подбрасываний, чтобы каждый раз получать экспериментальную вероятность. Обратите внимание, как она приближается к теоретической вероятности0,5(более надежно - меньше вариативность) по мере приближения к40подбрасыванию монеты.

Койнфлипглавы или Решка# глав /

# Бросков монеты So FarЭкспериментальной Вероятность глав So FarкойнфлипГоловы или Хвосты# глав /

Если бы мы провели этот эксперимент, скажем,2000раз, наша экспериментальная вероятность каждый раз была бы надежно очень, очень близка к теоретической вероятности0,5. (Вы можете попробовать это для научного эксперимента!)

Принципы подсчета

Вероятности обычно включают в себя какой-тосчет,чтобы поставить верхнюю или нижнюю часть дроби.

Фундаментальный принцип подсчета

Вот примерфундаментального Counting принцип, который говорит , что у вас есть определенное количество способов сделать что - то и другое количество способов сделать что - то другое, вы можете простоумножитьэти цифры , чтобы получить число способов сделатьтак.

Допустим, у нас есть3рубашки,2юбки и2пары обуви, которые мы взяли в отпуск. Мы хотим знать, с какой вероятностью мы выберем синюю рубашку без рукавов, фиолетовую юбку и сандалии на платформе в этот день.

Вы видите, что общее количество вещей, которые вы можете получить, или результатов, равно3умножить на2умножить на2, то есть12? Подумайте об этом - для первой рубашки вы можете носить одну из двух юбок и одну из двух пар обуви, для второй рубашки то же самое и так далее. Вы можете нарисовать «древовидную» диаграмму следующим образом:

Чтобы получить эту комбинацию (порядок не имеет значения: синяя рубашка без рукавов, пурпурная юбка и сандалии), существует1способ из12возможных, поэтому вероятность будет равна \ (\ displaystyle \ frac \)!

Комбинации и перестановки

Давайте теперь поговорим о более продвинутых вероятностных методах, включаякомбинациииперестановки. Комбинации и перестановки существуют, поскольку большую часть времени вероятность касается выбора подмножества (меньшего набора) вещей из большего набора вещей, и то, как мы выбираем эти наборы, важно. Как мы видели выше, это отношение желаемого подмножества к количеству всех возможных подмножеств составляет от0до1, и это вероятность.

Когдапорядок подмножества имеет значение, у нас естьперестановка. Примером этого является отсутствие множества способов выбрать президента, вице-президента и секретаря из группы людей.

Когдапорядок не имеет значения, у нас естькомбинация. (Я помню это , так как мы не заботимся о «порядке» , когда у нас есть «О» в слове: со. Mbination) Пример этого является желание числа способов , что любой три человека может быть выбран из группы , людей. Фактически мы снова будем использовать комбинации в разделе «Биномиальное расширение».

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

порядок имеет значение

\ (n \) элементов, упорядоченных \ (k \) способов

разные порядки \ (k \) считаются отдельными случаями

Количество способов выбрать президента, вице-президента и секретаря в клубе из10человек.Порядок имеет значение,поскольку, например, человек, являющийся президентом, отличается от этого человека, который является вице-президентом.

КОМБИНАЦИЯ

порядок не имеет значения

\ (n \) предметов, выбранных \ (k \) способов

разные порядки \ (k \) не считаются отдельными случаями

Количество способов выбрать любых трех человек из клуба из10человек.Порядок не имеет значения,поскольку у человека нет определенной роли; будет меньше способов сделать это.

(Чтобы повторить с другими числами, вы можете использовать2-й ENTER, а затем стрелку влево для редактирования.)

Но с повторяющимися буквами «A» и «R» нам необходимо исключить некоторые из этих случаев. Мы можем сделать это, разделив по способам их расположения: \ (\ left ( \ Right) \ left ( \ Right) \). Ответ: \ (\ displaystyle \ frac _

_ >>>\ Вправо) \ влево ( \ Вправо) >>= 1260 \)

( ) Что выбрано число комбинаций игроков?

(б) Это сложно. Здесь мы умножим вероятности, используя фундаментальный принцип подсчета. Количество способов выбрать двух капитанов из двух капитанов в команде: \ (<>_< _ >= 1 \), а количество способов выбрать оставшихся 38игроков равно \ (<>_ >< _ >= 8 436 \). Итак, общее количество комбинаций с двумя капитанами равно \ (<>_< _ >\ times<>_ >< _ >= 8 436 \). Обратите внимание, как, несмотря на то, что мы умножаем, числа перед Cскладываются с 40, а число после сложения с 5.

Вероятность проблем

Вот примеры вероятностных задач, которые содержат рассмотренные нами методы подсчета.

Проблема вероятности

(б) Лучший способ увидеть это - нарисовать древовидные диаграммы:

(Б) Какова вероятность спиннинг красного и затем синий?

(а) (с заменой) Какова вероятность вытащить красный шарик, положить его обратно в мешок, а затем вытащить другой красный шарик?

( ) Найти вероятность того, что студент хочет Триг домашнее задание помочь?

(b) Всего75студентов нуждаются в помощи при проверке результатов теста, и всего25студентов изучают математический анализ . Но некоторые из них частично совпадают; в частности, те учащиеся, которые хотят получить помощь с обзором результатов тестаипройти математический анализ (10учащихся). И обратите внимание, что всего у нас190студентов. Итак, имеем:

( ) Найти вероятность того, что3- е письмо является «T» и последний гласный?

(b) Найдите вероятность того, что4-я и5-я буквы являются согласными.

( ) Чтобы найти вероятность того, что3- е письмо является «T» и последний гласный, мы можем просто притворяться1- е письмо является «T» и следующий гласный; это проще. Используйте основной принцип счета, зная, что есть3согласных и2гласных (и остаются3буквы):

(b) Предположим, что первые2буквы являются согласными вместо4-й и5-й буквы ; это проще:

Если не идет дождь, вероятность ее игры составляет0,85, но даже если идет дождь, она все равно будет играть в теннис (в помещении)25%времени.

Вероятность того, что она сыграет, если нет дождя, составляет0,595(умножьте каждую ветвь), а вероятность того, что она сыграет, если идет дождь, равна0,075.Сложитеих, чтобы получить0,67.

Из90человек в группе40- женщины. Из100мужчин35играют в оркестре.

Вероятность того, что в хор будет зачислен случайный ученик, равна \ (\ displaystyle \ frac >>=. 15 \).

Вот более сложные вероятностные задачи.

(а) Ровно3розовые

(б) Все4розовые

(c) как минимум3розовые

(d) По крайней мере,1розовый. Давайте сначала найдем общее количество способов, которыми выбираются4шарика из15шариков (порядок не имеет значения): \ (<>_ >< _ >= 1365 \).

(a) Число возможных способов нарисовать ровно3розовых шарика равно \ (<>_ >< _ >\ раз<>_< _ >= 120 \ times 5 = 600 \) (возьмите количество способов отобрать 3шарика из 10розовых шариков; умножьте это на количество способов отобрать оставшийся шарик от синего). Вероятность равна \ (\ displaystyle \ frac _ >< _ >\ раз<>_< _ >>>_ >< _ >>>= \ frac >>= \ frac >>\ приблизительно .440 \). (Обратите внимание, что верхние индексы складываются с нижними: \ (10 ​​+ 5 = 15; \, \, 3 + 1 = 4 \).)

(b) Поскольку все4розовые, ни один из них не будет синим: \ (\ displaystyle \ frac _ >< _ >>>_ >< _ >>>= \ frac >>\ приблизительно .154 \).

(c) Чтобы получить хотя бы3розовых шарика, мы можем получить3или4розовых шарика: \ (\ displaystyle \ frac _ >< _ >\ раз<>_< _ >+<>_ >< _ >\ раз<>_< _ >>>_ >< _ >>>= \ frac >>\ ок. 593 \).

( ) Какова вероятность того, что комитет все мальчики?

(Б) Какова вероятность того, что именно4из6мальчиков? Мы знаем, что общее количество способов, которыми6детей выбираются из группы мальчиков и девочек (11), равно \ (<>_ >< _ >= 462 \); порядок не имеет значения, так как позиций нет.

(а) Есть только способ получить всех мальчиков, так как нас всего6мальчиков. Тогда вероятность равна \ (\ displaystyle \ frac _ >< _ >>>= \ frac >\ около 0,002 \) (низкий).

Случайно выбираются5карт.

Найдите вероятность того, что будет выбрана одна буква каждой буквы. Мы знаем, что общее количество способов выбора5букв из словаMISSISSIPPI(11букв) равно \ (<>_ >< _ >= 462 \); порядок не имеет значения.

Давайте сначала узнаем количество способов, которыми каждая буква может быть выбрана индивидуально. Например, количество способов выбора «M» равно1, поскольку существует только1 «M», количество способов выбора «I» равно4,поскольку имеется4«I», и так далее. .

(а) Установите (не решайте) вероятность того, что вы получите все червы.

(б) Установите вероятность того, что вы не получите червей.

(c) Установите вероятность того, что вы получите хотя бы одно сердце. Общее количество способов выбрать13карт из колоды из52карт (порядок не имеет значения): \ (<>_ >< _ >>\).

(a) Есть только один способ получить все сердца (\ (<>_ >< _ >>= 1 \)) так как здесь 13сердечек. Эта вероятность равна \ (\ displaystyle \ frac _ >< _ >>>>\).

(b) Количество способов не брать червей равно \ (\ displaystyle \ frac _ >< _ >\ times<>_ >< _ >>>>_ >< _ >>>>\) или \ (\ displaystyle \ frac _ >< _ >>>>_ >< _ >>>>\), так как 39карт не являются сердечками.

(а) Найдите вероятность того, что выбраны Бринн и Куинн (2из10).

(b) Найдите вероятность того, что Бринн будет выбрана первой, а Куинн - второй. Общее количество способов, которыми две девушки могут получить стипендии, составляет \ (<>_ >< _ >= 252 \).

(a) Число способов, которыми могут быть выбраны Бринн и Куинн, равно \ (<>_< _ >\ раз<>_< _ >= 1 \ times 56 = 56 \), поскольку нам нужно будет включить количество способов выборатрехдругих стипендий и умножить. Вероятность равна \ (\ displaystyle \ frac _< _ >\ раз<>_< _ >>>_ >< _ >>>= \ frac >>\ приблизительно .222 \).

(а) Сколько способов можно было бы заполнить9позиций, если бы любая девушка могла играть любую позицию?

(b) Если позиции выбраны случайным образом, какова вероятность того, что Эрика будет выбрана в качестве шорт-стопа? (а) Это немного сложно, так как мы выбираем то же количество девушек, что и в группе. Порядок имеет значение, ведь любая девушка может играть на любой позиции. Попробуем: \ (<>_

_ >= 362 880 \). Оказывается, это то же самое, что и \ (9! \), В котором используется Фундаментальный принцип подсчета, описанный выше.

(b) Если Эрика выбрана шорт-стопом, то есть8других должностей, которые должны быть заполнены (порядок имеет значение) для других8девушек; это \ (<>_

_ >= 40320 \). Таким образом, вероятность того, что Эрика будет выбрана на эту должность, равна \ (\ displaystyle \ frac _

_ >>>_

_ >>>= \ frac >>\ приблизительно .111 \). Ага! Это то же самое, что и \ (\ displaystyle \ frac \), что имеет смысл!

Какова вероятность того, что хотя быдвоесотрудников купили один и тот же напиток? Вероятно, есть много разных способов решить эту проблему, но проще всего было бы найти вероятность того, что все сотрудники купили разные напитки, а затем вычесть ее из1:

\ (\ displaystyle 1- \ frac >>\ times \ frac >\ times \ frac >\ times \ frac< >\ times \ frac >\ times \ frac >\ times \ frac >\ times \ frac >= 1-.018144 \ приблизительно .98 \)

Использование умножения и сложения для нахождения вероятностей в сложных ситуациях

Как мы уже говорили ранее, когда событиянезависимы(не связаны), мы можемумножить их,чтобы получить вероятность того, чтообасобытия произойдут! Однако мы должны быть осторожны, поскольку, если события зависят друг от друга (например, повторный выбор без замены), формулы становятся более сложными.

Бесплатные мероприятия:

Независимые события:

\(\начинать P \ left ( \ right) = P \ left (A \ right) \ cdot P \ left (B \ right) \\ P \ left ( B>\ right) = P \ left (A \ right) \ cdot P \ left (B \ right) \ end \) Независимые события случаются, когда одно из событий не имеет ничего общего с другим; они полностью независимы. Например,

Правило сложения:

\(\начинать P \ left ( \ right) = P \ left (A \ right) + P \ left (B \ right) -P \ left ( \ вправо) \\ Р \ влево ( B>\ right) = P \ left (A \ right) + P \ left (B \ right) -P \ left ( B>\ право) \ конец \) Добавляются вероятности того, что одно событие произойдет само по себе ИЛИ другое событие произойдет само по себе, но вы должны вычесть вероятность их ОБЕИХ событий. Например, если вы вынимаете карту из колоды, какова вероятность того, что это туз или трефа?

Если события являются взаимоисключающими (они оба не могут произойти), тогда формула принимает вид \ (P \ left ( \ right) + P \ left (A \ right) + P \ left (B \ right) \). Например, если вы вынимаете карту из колоды, какова вероятность того, что это туз пик или треф?

Условная вероятность:

Обратите внимание, что приведенная выше независимая формула является результатом этой формулы, где два события независимы, поэтому условные вероятности равны0.Условная вероятность - это вероятность того, что событие произойдет, но она связана с одним или несколькими другими предыдущими событиями. Мы решили проблему, подобную этой выше, и использовали таблицу непредвиденных обстоятельств (вы также можете увидеть древовидные диаграммы или диаграммы Венна). В таблице показано количество студентов по трем различным предметам с указанием типа математической помощи, которую они запрашивают:

Давайте посмотрим на вероятность того, что ученик Trig хочет помочь с домашним заданием. Ответ может показаться очевидным (\ (\ frac >>\)), но давайте воспользуемся формулой:

Формула Байеса:

\ (\ Displaystyle Р \ влево ( \ right) = \ frac< \ right) \ cdot P \ left (A \ right) >>< >\) Байес - это все же условная вероятность, но в другой форме. Он используется для определения вероятности определенного события на основе предшествующих знаний, которые могут быть связаны с событием (вероятности, которые мы уже знаем). Например, формула Байеса может быть очень полезной для определения точности медицинских тестов.

Опять же, не волнуйтесь, если вы не получите всего этого сейчас; просто важно усвоить основные понятия.

Изучите эти правила и практикуйтесь, практикуйтесь, практикуйтесь!

Нажмите «Отправить» (стрелка справа от проблемы), чтобы решить эту проблему. Вы также можете ввести больше проблем или щелкнуть 3 точки в правом верхнем углу, чтобы просмотреть, например, проблемы.

Слишком рано смотреть на то, какие кандидаты от Демократической партии 2020 года переоценены

Веб-сайт ставок PredictIt предлагает возможность подвести итоги общепринятого мнения. Поделитесь этой историейПоделитесь этим на FacebookПоделитесь этим в ТвиттереПоделитьсяВсе варианты обмена для: Слишком раннего взгляда на то, какие кандидаты от Демократической партии 2020 года переоцененыФото Габриэля Апонте / Getty Images для Concordia Americas Summit

Законодательство об онлайн-гемблинге - Последние акции онлайн-казино

Если вы хотите узнать больше о биткойн-слотах, вы можете посетить центр поддержки Nemesix Entertainment для получения дополнительной информации, казино mybet от игровых автоматов до блэкджека и ставок на биткойн на спорт.

Радикальная ремиссия: выжить от рака несмотря ни на что

Д-р Келли А. Тернер, доктор философии. разделяет девять факторов, которые могут привести к радикальной ремиссии рака, даже если лекарство не помогло.

Как побеждать в радиоконкурсах

[twitter] На этой неделе мне позвонил слушатель, который пытался сыгратьв конкурсе «Песня дня»XL 103.

Казино в Канкуне | Как выплачиваются выигрыши в казино

Всегда следите за такими стимулами, потому что обзоры канадских казино предлагаются в зависимости от того, какую выгоду игроки получают от казино, Южная Африка.

Больше новостей
9-51

Ставки на игру Kawaii - ViTr

7-4

Сделать ставку Nvn - 23QSAQW

8-11

Ставка Void Boys - 5ManMidas

7-4

Ставки на игру AT FINEST - Smoke Criminals

1-40

Ставки на киберспорт rEAK - Crack Shots

4-41

Ставки на игру Clucks For Life - SES

Больше ставок