Лучшее казино в мире

Каковы шансы, что после броска 6,6-гранных кубиков выпадет 6?

В более общем плане, какова вероятность того, что n n-сторонних игральных костей выпадут хотя бы на одной стороне с наибольшим числом ("n")?

По моему грубому мнению, каждая сторона имеет вероятность 1/6, так что 6 из них (1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6) равны 100% времени, но это, очевидно, не так.

2 монеты, получившие один T (скажем), имеют 3/4 времени, в течение которого хотя бы одна будет T (на каждые 2 подбрасывания монеты). Но это 75% для броска кости 2d2, какова общая формула для NdN?

6 ответов 6

Вероятность того, что кубик не выпадет $ n $, составляет $ 1-1 / n $. Вероятность того, что $ n $ не появится ни в одной из $ n $ игральных костей, равна $ (1-1 / n) ^ n $. Если вы вычтете это из $ 1 $, то будет вероятность того, что, когда вы бросите $ n $ кубиков, появится хотя бы один $ n $, т. Е.

$$ p = 1- (1-1 / n) ^ n \ rightarrow 1-e ^ $$ при переходе $ n $ в $ \ infty. $

Событие $ A: = $ "хотя бы одна игральная кость выпадает на стороне $ n $" является дополнением к событию $ B: = $ " все кости выпадают на сторонах, отличных от $ n $".

Итак, $ P (A) = 1-P (B) $. Что такое $ P (B) $?

Все кости независимы, поэтому

Доверяй, но проверяй. Мне нравится делать это в R:

Выглядит хорошо. Попробуйте это с другими значениями nn. Вот сюжет:

Отметим, насколько наша вероятность в пределе

$$ P (A) = 1- \ bigg (\ гидроразрыва \ bigg) ^ n = 1- \ bigg (1- \ frac \ bigg) ^ n \ к 1- \ frac \ приблизительно 0,6321206 \ quad \ text n \ to \ infty, $$

Ответы @StephanKolassa (+1) и @gunes (+1) хороши. Но эту проблему можно решить применительно к биномиальному распределению и распределению Пуассона следующим образом:

Если $ X_n $ - это количество ns, выпавших на $ n $ бросках справедливого $ n $ -гранного кубика, тогда $ X_n \ sim \ mathsf (n, 1 / n), $ так, чтобы $ P (X_n \ ge 1) = 1 - P (X_n = 0) = 1- (1-1 / n) ^ n. $

Поскольку $ n \ rightarrow \ infty, $ one имеет $ X_n \ stackrel Y \ sim \ mathsf (\ lambda = 1), $ с $ P (Y \ ge 1) = 1 - P (Y = 0) = 1 - e ^ . $

Ответ можно получить, просто подсчитав описанные события, хотя принятый ответ более элегантен . Мы рассмотрим случай кристалла, и, надеюсь, обобщение очевидно. Допустим, что пространство событий будет состоять из всех последовательностей чисел из $ \ $ длины $ 6 $. Вот несколько примеров (выбранных наугад):

Дело в том, что в нашем пространстве всего $ 6 ^ 6 $ событий, и из-за независимости мы предполагаем, что любое из них так же вероятно, как и другое (равномерно распределено). Нам нужно подсчитать, сколько последовательностей содержат хотя бы одну $ 6 $. Мы разделяем подсчитываемое пространство по количеству появившихся $ 6 $, поэтому рассмотрим случай, когда появляется ровно один $ 6 $. Сколько возможных способов это может произойти? Шесть может появиться в любой позиции (6 различных позиций), и когда это произойдет, остальные 5 позиций могут иметь любой из 5 различных символов (от $ \ $). Тогда общее количество последовательностей ровно с одним $ 6 $ равно: $ \ binom 5 ^ 5 $. Аналогично для случая, когда есть ровно две $ 6 $: мы получаем, что таких последовательностей ровно $ \ binom 5 ^ 4 $. Пришло время поразвлечься с суммами :

Чтобы получить вероятность из этого подсчета, мы разделим на общее количество событий:

Я думаю, что это довольно хорошо обобщает, поскольку для любого $ n $, отличного от $ 6 $, верны те же аргументы, только заменяет каждое вхождение $ 6 $ на $ n $ и $ 5 $ на $ n-1 $.

Также стоит отметить, что это число $ 5 ^ 6 = \ binom 5 ^ 6 $ является вкладом последовательностей, в которых не встречается $ 6 $, и его намного легче вычислить (как используется в принятом ответе).

Я нашел ответ Брюса интересным, касающийся количества событий. Альтернативный способ решения этой проблемы - использовать соответствие между временем ожидания и количеством событий. Использование этого было бы в том, что проблему можно было бы легче обобщить в некоторых отношениях.

Рассмотрение проблемы как проблемы времени ожидания

Это соответствие, как, например, объясняется / используется здесь и здесь, является

Проще говоря: вероятность получить больше, чем $ K \ geq k $ событий (например, $ \ geq 1 $, бросков 6 раз) в пределах количества бросков костей $ m $, равна вероятности того, что для получения результата потребуется $ m $ или меньше бросков костей. $ k $ таких событий.

Этот подход относится ко многим дистрибутивам.

Итак, в нашей ситуации время ожидания - это геометрическое распределение. Вероятность того, что количество выпавших кубиков $ M $ до того, как вы бросите первый $ n $, меньше или равно $ m $ (и с учетом вероятности выпадения $ n $, равной $ 1 / n $), следующая CDF для геометрическое распределение:

$$ P (M \ leq m) = 1- \ left (1- \ frac \ right) ^ m $$

и мы ищем ситуацию $ m = n $, чтобы получить:

Обобщения, когда $ n \ to \ infty $

Первое обобщение состоит в том, что при $ n \ to \ infty $ распределение количества событий становится пуассоновским с множителем $ \ lambda $, а время ожидания становится экспоненциальным распределением с множителем $ \ lambda $. Таким образом, время ожидания для броска события в процессе броска кубиков Пуассона становится $ (1-e ^ ) $, а при $ t = 1 $ мы получаем тот же результат $ \ приблизительно 0,632 $, что и другие ответы. Это обобщение еще не является таким особенным, поскольку оно только воспроизводит другие результаты, но для следующего я не вижу так прямо, как это обобщение могло бы работать, не думая о времени ожидания.

Обобщения, когда игральные кости нечестны

Вы можете рассмотреть ситуацию, когда игра в кости нечестна. Например, один раз вы бросаете кубик с вероятностью 0,17 выпадения 6, а в другой раз вы бросаете кубик с вероятностью 0,16 выпадения 6. Это будет означать, что кубики 6 сгруппируются вокруг кубиков с положительным смещением. , и что вероятность выпадения 6 за 6 ходов будет меньше, чем сумма $ 1-1 / e $. (это означает, что на основе средней вероятности одного броска, скажем, вы определили ее из выборки из многих бросков, вы не можете определить вероятность во многих бросках с одними и теми же кубиками, потому что вам нужно учитывать корреляцию игральная кость)

Скажем, игра в кости не имеет постоянной вероятности $ p = 1 / n $, а взята из бета-распределения со средним значением $ \ bar.

= 1 / n $ и некоторый параметр формы $ \ nu $

$$ p \ sim Beta \ left (\ alpha = \ nu \ frac , \ beta = \ nu \ frac \ right) $$

Тогда количество событий для конкретной выпавшей кости за $ n $ раз будет распределяться бета-биномом. А вероятность одного или нескольких событий будет:

Я могу проверить с помощью вычислений, что это работает.

. Но у меня нет хорошего способа аналитически решить выражение для $ n \ to \ infty $.

Со временем ожидания.Однако с временем ожидания я могу выразить предел бета-биномиального распределения (которое теперь больше похоже на бета-распределение Пуассона) с дисперсией экспоненциального множителя времени ожидания.

Поэтому вместо $ 1-e ^ $ мы ищем $$ 1- \ int e ^ p (\ lambda) \, \ text \, \ lambda $$.

Теперь этот интегральный член связан с производящей функцией момента (с $ t = -1 $). Итак, если $ \ lambda $ нормально распределено с $ \ mu = 1 $ и дисперсией $ \ sigma ^ 2 $, тогда мы должны использовать:

Приложение

Эти броски кубиков представляют собой игрушечную модель. Многие проблемы из реальной жизни будут иметь вариации, а не совсем справедливые ситуации с игральными костями.

Например, предположим, что вы хотите изучить вероятность того, что человек может заболеть вирусом при условии некоторого времени контакта. Для этого можно было бы основывать расчеты на некоторых экспериментах, которые проверяют вероятность передачи (например, некоторые теоретические работы или некоторые лабораторные эксперименты, измеряющие / определяющие количество / частоту передач во всей совокупности за короткий промежуток времени), а затем экстраполировать эта передача на целый месяц. Скажем, вы обнаружите, что передача составляет 1 передачу в месяц на человека, тогда вы можете сделать вывод, что 1-1 / е \ примерно 0,63 \% населения заболеет. Однако это может быть переоценкой, потому что не все могут заболеть / передаваться с одинаковой частотой. Вероятно, процент будет ниже.

Однако это верно только в том случае, если дисперсия очень велика. Для этого распределение $ \ lambda $ должно быть очень асимметричным. Потому что, хотя раньше мы выражали это как нормальное распределение, отрицательные значения невозможны, а распределения без отрицательных распределений обычно не имеют больших отношений $ \ sigma / \ mu $, если только они не сильно искажены. Ситуация с большим перекосом смоделирована ниже:

Теперь мы используем MGF для распределения Бернулли (его показатель степени), потому что мы моделировали распределение как $ \ lambda = 0 $ с вероятностью $ 1-p $ или $ \ lambda = 1 / p $ с вероятностью $ p $.

Следствие есть. Допустим, у вас много $ n $ и у вас нет возможности наблюдать за бросками $ n $ кубиков (например, это занимает слишком много времени), и вместо этого вы просматриваете количество бросков $ n $ только на короткое время для множества различных игральных костей. Затем вы можете вычислить количество игральных костей, которые бросили число $ n $ за это короткое время, и на основе этого вычислить, что произойдет с $ n $ роликами. Но вы бы не знали, насколько события коррелируют внутри игральных костей. Возможно, вы имеете дело с высокой вероятностью в небольшой группе игральных костей, а не с равномерно распределенной вероятностью среди всех игральных костей.

Эта «ошибка» (или, можно сказать, упрощение) относится к ситуации с COVID-19, когда существует идея, что нам нужен иммунитет 60% людей, чтобы достичь коллективного иммунитета. Однако это может быть не так. Текущий уровень заражения определен только для небольшой группы людей, может быть, это только показатель заразности среди небольшой группы людей.

UFC 264 Burns vs Thompson Picks: аутсайдер Бернс имеет большую ценность

После неудачной попытки получить пояс в полусреднем весе Гилберт Бернс собирается перегруппироваться на UFC 264.

Ой, меня ужалили: что нужно знать о скатах, укусах и травмах

Чиновники видят сезонный всплеск укусов скатов. Получив свой первый «укус» в День памяти, я изучил причину, следствие и варианты лечения.

Лучшие телефоны Android (июнь 2021 г.)

Android всегда была лучшей операционной системой, если вам нужна свобода выбора.

Сравнительное исследование факторов, связанных с рецидивом алкогольной и опиоидной зависимости

Алкоголь и опиаты являются одними из веществ, вызывающих наибольшую зависимость, вызывающих серьезные проблемы со здоровьем населения из-за биопсихосоциального воздействия, которое они оказывают на людей.

Обзор системы ZCode: законная служба ставок на спорт?

Теперь я знаю, что большинство из вас особенно увлечены ставками на спорт, и я такой же.

Больше новостей
6-11

Ставка Drow One Love - OS Frog

9-58

Ставки Bango-I-Karise - WASD

5-58

Ставка на игру Team_Hually - Evil Speeed

5-1

Ставка на игру mix123 - ORDER

8-34

Ставка APOLOGIS Esport - Smoke Criminals

6-7

Ставки на матч Blank - Entity eSports

Больше ставок